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极限重要概念
- 函数：设数集D包含于R，则称映射（机电类未讲）；D→R为定义在D上的函数，通常简记y=ƒ（x），其中x为自变量，y为因变量，D为定义域。
- 有界性：函数ƒ（x）在Ι上有界∃（存在一个数）M，使得对∀（任意）x∈Ι，都有|ƒ（x）|≤M成立。
- 极限：对∀ε<0，∃δ>0，当0<|x-\(x_0\)|<δ时，有|ƒ(x)-A|<ε,\(\lim_{x\rightarrow x_0}\)ƒ(x)=A。
- 极限性质：唯一性、局部有界性、局部保号性
- 函数的连续性：设函数y=ƒ（x）在点\(x_0\)的某一邻域内有定义，如果 \(\lim_{x\rightarrow x_0}\)ƒ（x）=ƒ（\(x_0\)），那么就称函数ƒ（x）在点\(x_0\)连续。
一、分离常数法
当分子分母的自变量形式相同相近时，且涉及到加减法运算时，可用此法
【例1】
\(\lim \limits_{n \to \infty} \frac{ \sqrt{2^n}+\sqrt{3^n}}{ \sqrt{2^n}-\sqrt{3^n}} = \)\(\lim \limits_{n \to \infty}(1\;+\;\frac2{\sqrt{\left({\displaystyle\frac23}\right)^n}-1}) = -1\)
【例2】
\(\lim \limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1-e^{-n}}{1+e^{-n}}=\lim \limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac2{e^{-n}+1}-1\right)=1\)二、变量转换法
当对关于自变量x的函数极限求不出时，可将x转换为\(\frac{1}{x}\),并转换成趋向的值。此法可分为直接构造和变量替换（设未知数替换），通常用此法化无穷大为无穷小
【例3】直接构造
\(\lim \limits_{x\rightarrow\infty}\frac{{(2x-3)}^{20}\left(3x-2\right)^{30}}{{(2x+1)}^{50}}\) \(=\lim \limits_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{20}\left(2-{\displaystyle\frac3x}\right)^{20}\ast x^{30}\left(3+{\displaystyle\frac2x}\right)^{30}}{x^{50}\left(2+{\displaystyle\frac1x}\right)^{50}}\) \(=\lim \limits_{x\rightarrow\infty}\frac{\left(2-{\displaystyle\frac3x}\right)^{20}\ast\left(3+{\displaystyle\frac2x}\right)^{30}}{\left(2+{\displaystyle\frac1x}\right)^{50}}=\left(\frac32\right)^{30}\)【例4】变量替换
已知：\(\lim \limits_{x\rightarrow0}x\sin\left(\frac1x\right)\)，令 \(t=\frac1x\)
则原式 \(=\lim \limits_{t\rightarrow\infty}\frac{\sin\left(t\right)}t=\lim \limits_{t\rightarrow\infty}\frac1t\ast\lim \limits_{t\rightarrow\infty}\sin\left(t\right)\)
∴ \(\lim \limits_{x\rightarrow0}x\sin\left(\frac1x\right)=0\)
三、分子有理化法
当函数中，分子带有根号且在平方差后可约去X时，可使用本法
【例5】
\(\lim \limits_{x\rightarrow\infty}x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=\lim \limits_{x\rightarrow\infty}\frac x{\sqrt{x^2+1}+x}\)\(=\lim \limits_{x\rightarrow\infty}\frac1{\sqrt{1+{\displaystyle\frac1{x^2}}}+1}=\frac12\)
四、分母有理化法
当函数中，分母带有根号且在平方差之后可约去X时，可使用本法
【例6】
\(\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac x{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}=\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}2=1\)五、代换等价无穷小法
当函数为分式形时，可应用等价无穷小替换（~）
在此基础上，当分子或分母为加和 而用等价无穷小代换后不会消去自变量时，也可代等价无穷小
附常用等价无穷小：
【例7】
\(\lim \limits_{x\rightarrow1}\frac{\ln\left(1+\sqrt[3]{x-1}\right)}{\sin^{-1}\left(2\sqrt[3]{x^2}-1\right)}=\lim \limits_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt[3]{x-1}}{2\sqrt[3]{x^2-1}}\)\(=\lim \limits_{x\rightarrow1}\left[\frac12\ast\sqrt[3]{\frac1{x+1}}\right]=\left(\frac12\right)^\frac43\)