高等数学(同济第七版)常见极限求法(上)

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极限重要概念

  1. 函数:设数集D包含于R,则称映射(机电类未讲);D→R为定义在D上的函数,通常简记y=ƒ(x),其中x为自变量,y为因变量,D为定义域。
  2. 有界性:函数ƒ(x)在Ι上有界∃(存在一个数)M,使得对∀(任意)x∈Ι,都有|ƒ(x)|≤M成立。
  3. 极限:对∀ε<0,∃δ>0,当0<|x-\(x_0\)|<δ时,有|ƒ(x)-A|<ε,\(\lim_{x\rightarrow x_0}\)ƒ(x)=A。
  4. 极限性质:唯一性、局部有界性、局部保号性
  5. 函数的连续性:设函数y=ƒ(x)在点\(x_0\)的某一邻域内有定义,如果    \(\lim_{x\rightarrow x_0}\)ƒ(x)=ƒ(\(x_0\)),那么就称函数ƒ(x)在点\(x_0\)连续。

一、分离常数法

当分子分母的自变量形式相同相近时,且涉及到加减法运算时,可用此法

【例1】

\(\lim \limits_{n \to \infty} \frac{ \sqrt{2^n}+\sqrt{3^n}}{ \sqrt{2^n}-\sqrt{3^n}} = \)\(\lim \limits_{n \to \infty}(1\;+\;\frac2{\sqrt{\left({\displaystyle\frac23}\right)^n}-1}) = -1\)

【例2】

\(\lim \limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1-e^{-n}}{1+e^{-n}}=\lim \limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac2{e^{-n}+1}-1\right)=1\)

二、变量转换法

当对关于自变量x的函数极限求不出时,可将x转换为\(\frac{1}{x}\),并转换成趋向的值。此法可分为直接构造和变量替换(设未知数替换),通常用此法化无穷大为无穷小

【例3】直接构造

\(\lim \limits_{x\rightarrow\infty}\frac{{(2x-3)}^{20}\left(3x-2\right)^{30}}{{(2x+1)}^{50}}\) \(=\lim \limits_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{20}\left(2-{\displaystyle\frac3x}\right)^{20}\ast x^{30}\left(3+{\displaystyle\frac2x}\right)^{30}}{x^{50}\left(2+{\displaystyle\frac1x}\right)^{50}}\) \(=\lim \limits_{x\rightarrow\infty}\frac{\left(2-{\displaystyle\frac3x}\right)^{20}\ast\left(3+{\displaystyle\frac2x}\right)^{30}}{\left(2+{\displaystyle\frac1x}\right)^{50}}=\left(\frac32\right)^{30}\)

【例4】变量替换

已知:\(\lim \limits_{x\rightarrow0}x\sin\left(\frac1x\right)\),令 \(t=\frac1x\)

则原式 \(=\lim \limits_{t\rightarrow\infty}\frac{\sin\left(t\right)}t=\lim \limits_{t\rightarrow\infty}\frac1t\ast\lim \limits_{t\rightarrow\infty}\sin\left(t\right)\)

∴ \(\lim \limits_{x\rightarrow0}x\sin\left(\frac1x\right)=0\)

三、分子有理化法

当函数中,分子带有根号且在平方差后可约去X时,可使用本法

【例5】

\(\lim \limits_{x\rightarrow\infty}x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=\lim \limits_{x\rightarrow\infty}\frac x{\sqrt{x^2+1}+x}\)

 

\(=\lim \limits_{x\rightarrow\infty}\frac1{\sqrt{1+{\displaystyle\frac1{x^2}}}+1}=\frac12\)

四、分母有理化法

当函数中,分母带有根号且在平方差之后可约去X时,可使用本法

【例6】

\(\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac x{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}=\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}2=1\)

五、代换等价无穷小法

当函数为分式形时,可应用等价无穷小替换(~)

在此基础上,当分子或分母为加和 而用等价无穷小代换后不会消去自变量时,也可代等价无穷小

附常用等价无穷小:

【例7】

\(\lim \limits_{x\rightarrow1}\frac{\ln\left(1+\sqrt[3]{x-1}\right)}{\sin^{-1}\left(2\sqrt[3]{x^2}-1\right)}=\lim \limits_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt[3]{x-1}}{2\sqrt[3]{x^2-1}}\)

 

\(=\lim \limits_{x\rightarrow1}\left[\frac12\ast\sqrt[3]{\frac1{x+1}}\right]=\left(\frac12\right)^\frac43\)

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