高等数学(同济第七版)常见极限求法(下)

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六、构建等价无穷小法

当函数的的等价无穷小不够明显时,可自行构建等价无穷小,但不能改变原式(基本就是东拼西凑去弄个1)

【例8】

\(\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac{e^{x^2}-\cos\left(x\right)}{\ln\left(1+x^2\right)}=\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac{e^{x^2}-1+1-\cos\left(x\right)}{\ln\left(1+x^2\right)}\) \(=\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac{e^{x^2}-1+1-\cos\left(x\right)}{x^2}=\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac{e^{x^2}-1}{x^2}+\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos\left(x\right)}{x^2}\) \(=1+\frac12=\frac32\)

 

再次附上常见等价无穷小公式

在做更难的题目的时候,我们常常会遇到更复杂更难以察觉的等价无穷小形式,比如这题

【例9】

\(\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac1{x^3}\left[\left(\frac{2+\cos\left(x\right)}3\right)^x-1\right]\)

这时候,我们可以尝试使用将带有x指数的式子转换成以e为底的形式,再使用等价无穷小替换

eg:\(\begin{array}{l}a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\ln\left(a\right)}\\e^u-1\sim u\end{array}\)

∴\(a^b-1\sim b\ln\left(a\right)\)

∴原式

\(\begin{array}{l}=\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac1{x^3}\left[x\ln\left(\frac{2+\cos\left(x\right)}3\right)\right]\\=\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac1{x^3}\left[x\ln\left(\frac{3+\cos\left(x\right)-1}3\right)\right]\\=\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac1{x^2}\ast\ln\left(\frac33\right)+\lim_{x\rightarrow0}\frac1{x^2}\ast\left(-\frac{1-\cos\left(x\right)}3\right)\\=0+\left(-\frac16\right)\\=-\frac16\\\\\end{array}\)

七、分离有界函数法

在判断了题目中是极限是存在之后,当函数中存在有界函数时,可将有界函数提出,则剩下部分极限也一定存在,因此可将有界函数分离之后再求剩下部分的极限。

【例10】

\(\begin{array}{l}\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac{3\sin\left(x\right)+x^2\cos\left({\displaystyle\frac1x}\right)}{\left(1+\cos\left(x\right)\right)\ln\left(1+x\right)}\\=\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac1{1+\cos\left(x\right)}\ast\frac{3\sin\left(x\right)+x^2\cos\left({\displaystyle\frac1x}\right)}{\ln\left(1+x\right)}\\=\frac12\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac{3\sin\left(x\right)+x^2\cos{\displaystyle\frac1x}}{\ln\left(1+x\right)}\\=\frac32\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac{\sin\left(x\right)}x+\frac12\lim \limits_{x\rightarrow0}x\cos\left(\frac1x\right)\\=\frac32+\frac12\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac{\cos\left(x\right)}x\\=\frac32\\\\\end{array}\)

八、构造第二类重要极限方法

当函数形如\(\lim \limits_{\varphi\left(x\right)\rightarrow0}\left[1+\varphi\left(x\right)\right]^\frac1{\varphi\left(x\right)}\)或\(\lim \limits_{\varphi\left(x\right)\rightarrow\infty}\left[1+\frac1{\varphi\left(x\right)}\right]^{\varphi\left(x\right)}\)时,

可应用此法,但要注意φ(x)的趋向,该方法只能在x(或n)不作指数时使用。

【例11】

\(\begin{array}{l}\lim \limits_{x\rightarrow\infty}\left(1-\frac3{6+x}\right)^\frac{x+1}2\\=\lim \limits_{x\rightarrow\infty}\left(1-\frac3{x+6}\right)^{\left(-\frac{x+6}3\right)\ast\left(-\frac3{x+6}\right)\ast\frac{x+1}2}\\=e^{\lim \limits_{x\rightarrow\infty}\left(-\frac{3x+3}{2x+12}\right)}\\=e^{\lim \limits_{x\rightarrow\infty}\left(-\frac32+\frac{15}{2x+12}\right)}\\=e^{-\frac32}\end{array}\)

【例12】

\(\begin{array}{l}\lim \limits_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac2n+\frac2{n^2}\right)\\=\lim \limits_{n\rightarrow\infty}\left[1+\left(\frac2n+\frac2{n^2}\right)\right]^{\frac{n^2}{2n+2}\ast\frac{2n+2}n}\\=e^{\lim \limits_{n\rightarrow\infty}\frac{2n+2}n}\\=e^{\lim \limits_{n\rightarrow\infty}\left(2+\frac2n\right)}\\=e^2\end{array}\)

九、放缩法(夹逼准则)

当函数形式为多项累加,且不能通过已知公式变换成前8种方法的极限解决,或给的是定积分形式的函数求极限时,可使用本法

【例13】

\(\begin{array}{l}\lim \limits_{n\rightarrow\infty}\left(1+2^n+3^n\right)^\frac1n\\3^n<1+2^n+3^n<3\ast3^n\\3<\left(1+2^n+3^n\right)^\frac1n<3\sqrt[n]3\\\lim \limits_{n\rightarrow\infty}\left(1+2^n+3^n\right)^\frac1n=\lim \limits_{n\rightarrow\infty}3\sqrt[n]3=3\end{array}\)

【例14】

\(\begin{array}{l}\lim \limits_{n\rightarrow\infty}\left(e^n+\mathrm\pi^{\mathrm n}\right)^\frac1n\\\;\mathrm\pi^{\mathrm n}<\mathrm e^{\mathrm n}+\mathrm\pi^{\mathrm n}<\mathrm a\ast\mathrm\pi\;\;\;\;\;\left(\mathrm a>1+\left(\frac{\mathrm e}{\mathrm\pi}\right)^{\mathrm n}\right)\\\;\mathrm\pi<\left(\mathrm e^{\mathrm n}+\mathrm\pi^{\mathrm n}\right)^\frac1{\mathrm n}<\mathrm a^\frac1{\mathrm n}\ast\mathrm\pi\\\;\lim \limits_{\mathrm n\rightarrow\infty}\left(\mathrm e^{\mathrm n}+\mathrm\pi^{\mathrm n}\right)^\frac1{\mathrm n}=\lim \limits_{\mathrm n\rightarrow\infty}\left(\mathrm a^\frac1{\mathrm n}\ast\mathrm\pi\right)=\mathrm\pi\\\end{array}\)

【例15】

\(\begin{array}{l}\lim \limits_{\mathrm n\rightarrow\infty}\left(\frac1{\sqrt{n^2+1}}+\frac1{\sqrt{n^2+2}}+\dots+\frac1{\sqrt{n^2+n}}\right)\end{array}\) \(=\lim \limits_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^n\frac1{\sqrt{n^2+i}}\\\)

 

因为

\(\begin{array}{l}\frac{\mathrm n}{\sqrt{\mathrm n^2+\mathrm n}}\leq\frac1{\sqrt{n^2+1}}+\frac1{\sqrt{n^2+2}}+\dots+\frac1{\sqrt{n^2+n}}\end{array}\) \(\leq\frac n{\sqrt{n^2+1}}\\\)

 

且\(\lim \limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\mathrm n}{\sqrt{\mathrm n^2+\mathrm n}}=1=\lim \limits_{n\rightarrow\infty}\frac n{\sqrt{n^2+1}}\),则由夹逼准则。

\(\begin{array}{l}\lim \limits_{\mathrm n\rightarrow\infty}\left(\frac1{\sqrt{n^2+1}}+\frac1{\sqrt{n^2+2}}+\dots+\frac1{\sqrt{n^2+n}}\right)=1\\\end{array}\)

十、洛必达法则法

当函数为分式型(或可化为分型式),当分子分母同时趋向于0或∞(即0比0与∞比∞),且分子分母函数均可导时,可用本法(原式的极限等于分子分母分别求导之后的比),包括遇到变限积分符号下的求极限

定理1 设

(1)当x→a时,函数ƒ(x)及F(x)都趋于零;

(2)在点a的某去心邻域内,ƒ’(x)<即ƒ(x)的导数>及F’(x)都存在且F’(x)≠0;

(3)\(\lim \limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{F'(x)}\)存在(或为无穷大)

\(\lim \limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{F'(x)}\)

【例16】

\(\begin{array}{l}\lim \limits_{x\rightarrow1}\frac{x^3-3x+2}{x^3-x^2-x+1}=\lim \limits_{x\rightarrow1}\frac{3x^2-3}{3x^2-2x-1}\\=\lim \limits_{x\rightarrow1}\frac{6x}{6x-2}=\frac32\end{array}\)

注意,上式中的\(\lim_{x\rightarrow1}\frac{6x}{6x-2}\)已不是未定式,不能对它应用洛必达法则,否则会导致错误结果,以后使用洛必达法则时应当注意这一点,如果不是未定式,那么就不能应用洛必达法则

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