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六、构建等价无穷小法
当函数的的等价无穷小不够明显时，可自行构建等价无穷小，但不能改变原式（基本就是东拼西凑去弄个1）
【例8】
\(\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac{e^{x^2}-\cos\left(x\right)}{\ln\left(1+x^2\right)}=\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac{e^{x^2}-1+1-\cos\left(x\right)}{\ln\left(1+x^2\right)}\) \(=\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac{e^{x^2}-1+1-\cos\left(x\right)}{x^2}=\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac{e^{x^2}-1}{x^2}+\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos\left(x\right)}{x^2}\) \(=1+\frac12=\frac32\)
再次附上常见等价无穷小公式
在做更难的题目的时候，我们常常会遇到更复杂更难以察觉的等价无穷小形式，比如这题
【例9】
\(\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac1{x^3}\left[\left(\frac{2+\cos\left(x\right)}3\right)^x-1\right]\)这时候，我们可以尝试使用将带有x指数的式子转换成以e为底的形式，再使用等价无穷小替换
eg：\(\begin{array}{l}a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\ln\left(a\right)}\\e^u-1\sim u\end{array}\)
∴\(a^b-1\sim b\ln\left(a\right)\)
∴原式
\(\begin{array}{l}=\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac1{x^3}\left[x\ln\left(\frac{2+\cos\left(x\right)}3\right)\right]\\=\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac1{x^3}\left[x\ln\left(\frac{3+\cos\left(x\right)-1}3\right)\right]\\=\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac1{x^2}\ast\ln\left(\frac33\right)+\lim_{x\rightarrow0}\frac1{x^2}\ast\left(-\frac{1-\cos\left(x\right)}3\right)\\=0+\left(-\frac16\right)\\=-\frac16\\\\\end{array}\)七、分离有界函数法
在判断了题目中是极限是存在之后，当函数中存在有界函数时，可将有界函数提出，则剩下部分极限也一定存在，因此可将有界函数分离之后再求剩下部分的极限。
【例10】
\(\begin{array}{l}\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac{3\sin\left(x\right)+x^2\cos\left({\displaystyle\frac1x}\right)}{\left(1+\cos\left(x\right)\right)\ln\left(1+x\right)}\\=\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac1{1+\cos\left(x\right)}\ast\frac{3\sin\left(x\right)+x^2\cos\left({\displaystyle\frac1x}\right)}{\ln\left(1+x\right)}\\=\frac12\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac{3\sin\left(x\right)+x^2\cos{\displaystyle\frac1x}}{\ln\left(1+x\right)}\\=\frac32\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac{\sin\left(x\right)}x+\frac12\lim \limits_{x\rightarrow0}x\cos\left(\frac1x\right)\\=\frac32+\frac12\lim \limits_{x\rightarrow0}\frac{\cos\left(x\right)}x\\=\frac32\\\\\end{array}\)八、构造第二类重要极限方法
当函数形如\(\lim \limits_{\varphi\left(x\right)\rightarrow0}\left[1+\varphi\left(x\right)\right]^\frac1{\varphi\left(x\right)}\)或\(\lim \limits_{\varphi\left(x\right)\rightarrow\infty}\left[1+\frac1{\varphi\left(x\right)}\right]^{\varphi\left(x\right)}\)时，
可应用此法，但要注意φ（x）的趋向，该方法只能在x（或n）不作指数时使用。
【例11】
\(\begin{array}{l}\lim \limits_{x\rightarrow\infty}\left(1-\frac3{6+x}\right)^\frac{x+1}2\\=\lim \limits_{x\rightarrow\infty}\left(1-\frac3{x+6}\right)^{\left(-\frac{x+6}3\right)\ast\left(-\frac3{x+6}\right)\ast\frac{x+1}2}\\=e^{\lim \limits_{x\rightarrow\infty}\left(-\frac{3x+3}{2x+12}\right)}\\=e^{\lim \limits_{x\rightarrow\infty}\left(-\frac32+\frac{15}{2x+12}\right)}\\=e^{-\frac32}\end{array}\)【例12】
\(\begin{array}{l}\lim \limits_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac2n+\frac2{n^2}\right)\\=\lim \limits_{n\rightarrow\infty}\left[1+\left(\frac2n+\frac2{n^2}\right)\right]^{\frac{n^2}{2n+2}\ast\frac{2n+2}n}\\=e^{\lim \limits_{n\rightarrow\infty}\frac{2n+2}n}\\=e^{\lim \limits_{n\rightarrow\infty}\left(2+\frac2n\right)}\\=e^2\end{array}\)九、放缩法（夹逼准则）
当函数形式为多项累加，且不能通过已知公式变换成前8种方法的极限解决，或给的是定积分形式的函数求极限时，可使用本法
【例13】
\(\begin{array}{l}\lim \limits_{n\rightarrow\infty}\left(1+2^n+3^n\right)^\frac1n\\3^n<1+2^n+3^n<3\ast3^n\\3<\left(1+2^n+3^n\right)^\frac1n<3\sqrt[n]3\\\lim \limits_{n\rightarrow\infty}\left(1+2^n+3^n\right)^\frac1n=\lim \limits_{n\rightarrow\infty}3\sqrt[n]3=3\end{array}\)【例14】
\(\begin{array}{l}\lim \limits_{n\rightarrow\infty}\left(e^n+\mathrm\pi^{\mathrm n}\right)^\frac1n\\\;\mathrm\pi^{\mathrm n}<\mathrm e^{\mathrm n}+\mathrm\pi^{\mathrm n}<\mathrm a\ast\mathrm\pi\;\;\;\;\;\left(\mathrm a>1+\left(\frac{\mathrm e}{\mathrm\pi}\right)^{\mathrm n}\right)\\\;\mathrm\pi<\left(\mathrm e^{\mathrm n}+\mathrm\pi^{\mathrm n}\right)^\frac1{\mathrm n}<\mathrm a^\frac1{\mathrm n}\ast\mathrm\pi\\\;\lim \limits_{\mathrm n\rightarrow\infty}\left(\mathrm e^{\mathrm n}+\mathrm\pi^{\mathrm n}\right)^\frac1{\mathrm n}=\lim \limits_{\mathrm n\rightarrow\infty}\left(\mathrm a^\frac1{\mathrm n}\ast\mathrm\pi\right)=\mathrm\pi\\\end{array}\)【例15】
\(\begin{array}{l}\lim \limits_{\mathrm n\rightarrow\infty}\left(\frac1{\sqrt{n^2+1}}+\frac1{\sqrt{n^2+2}}+\dots+\frac1{\sqrt{n^2+n}}\right)\end{array}\) \(=\lim \limits_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^n\frac1{\sqrt{n^2+i}}\\\)
因为
\(\begin{array}{l}\frac{\mathrm n}{\sqrt{\mathrm n^2+\mathrm n}}\leq\frac1{\sqrt{n^2+1}}+\frac1{\sqrt{n^2+2}}+\dots+\frac1{\sqrt{n^2+n}}\end{array}\) \(\leq\frac n{\sqrt{n^2+1}}\\\)
且\(\lim \limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\mathrm n}{\sqrt{\mathrm n^2+\mathrm n}}=1=\lim \limits_{n\rightarrow\infty}\frac n{\sqrt{n^2+1}}\),则由夹逼准则。
\(\begin{array}{l}\lim \limits_{\mathrm n\rightarrow\infty}\left(\frac1{\sqrt{n^2+1}}+\frac1{\sqrt{n^2+2}}+\dots+\frac1{\sqrt{n^2+n}}\right)=1\\\end{array}\)十、洛必达法则法
当函数为分式型（或可化为分型式），当分子分母同时趋向于0或∞（即0比0与∞比∞），且分子分母函数均可导时，可用本法（原式的极限等于分子分母分别求导之后的比），包括遇到变限积分符号下的求极限
定理1 设
（1）当x→a时，函数ƒ（x）及F（x）都趋于零；
（2）在点a的某去心邻域内，ƒ’（x）<即ƒ（x）的导数>及F’（x）都存在且F’（x）≠0；
（3）\(\lim \limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{F'(x)}\)存在（或为无穷大）
则
\(\lim \limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{F'(x)}\)【例16】
\(\begin{array}{l}\lim \limits_{x\rightarrow1}\frac{x^3-3x+2}{x^3-x^2-x+1}=\lim \limits_{x\rightarrow1}\frac{3x^2-3}{3x^2-2x-1}\\=\lim \limits_{x\rightarrow1}\frac{6x}{6x-2}=\frac32\end{array}\)注意，上式中的\(\lim_{x\rightarrow1}\frac{6x}{6x-2}\)已不是未定式，不能对它应用洛必达法则，否则会导致错误结果，以后使用洛必达法则时应当注意这一点，如果不是未定式，那么就不能应用洛必达法则